23.11.2016 г. отмечается 846 лет со дня рождения Леонардо Пизанского (лат. Leonardus Pisanus, итал. Leonardo Pisano, род. около 1170 года, Пиза - ум. около 1250 года, там же) - первого крупного математика средневековой Европы. Наиболее известен под прозвищем Фибоначчи.
Дата Дня Фибоначчи - 23.11 никак не связана с его биографией. Есть предположение, что это первые числа последовательности, которая носит имя математика.
Т.е. если посмотреть на последовательность цифр даты наоборот: 1 1 2 3 (американский способ записи даты), то видно, что это первые числа последовательности Фибоначчи 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, ...
Т.е. если посмотреть на последовательность цифр даты наоборот: 1 1 2 3 (американский способ записи даты), то видно, что это первые числа последовательности Фибоначчи 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, ...
Леонардо был сыном торговца. Путешествую вместе с отцом из Италии на Восток, он изучал математику у арабских учителей. Труды математиков Античности и Древней Индии он прочитал в арабских переводах.
Фибоначчи стал первым крупным математиком Средневековья, обобщив полученные знания, свои открытия и размышления в следующих научных трактатах:
- «Liber abaci» («Книга абака», 1202 год);
- «Practica geometriae» («Практика геометрии», 1220 год);
- «Flos» («Цветок», 1225 год – исследование, посвященное кубическим уравнениям);
- «Liber quadratorum» («Книга квадратов», 1225 год – задачи о неопределенных квадратных уравнениях).
Имя «Фибоначчи»
Леонардо Пизанский никогда не называл себя Фибоначчи; этот псевдоним был дан ему позднее, предположительно Гийомом Либри в 1838 году. Слово Fibonacci - сокращение от двух слов «filius Bonacci», записанных на обложке «Книги абака» (они могли означать «сын Боначчи»).
Числа Фибоначчи
0+1=1
1+1=2
1+2=3
2+3=5 и т.д.
0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, ...
Почему эта последовательность так важна?
Если разделить два последовательно идущих числа в последовательности друг на друга, то мы получим отношение, которое называется «гармонической пропорцией» или «золотым сечением»:
- При делении меньшего числа на большее мы получим последовательность чисел, которые будут стремиться к числу 0,618.
- При делении большего числа на меньшее - последовательность чисел, которая стремятся к 1,618.
- В процентном округлённом значении золотое сечение - это деление какой-либо величины в отношении 62% и 38%.
- Под «правилом золотого сечения» в архитектуре и искусстве обычно понимаются композиции, содержащие пропорции, близкие к золотому сечению и .
- В отрезках это выражается так: a:b= b:c или с:b= b:а.
- Свойства последовательности:- Каждое третье число Фибоначчи четно; - Каждое четвертое делится на три;- Каждое пятнадцатое оканчивается нулем; - Два соседних числа взаимно просты.
.
Ряд Фибоначчи мог бы остаться только математическим казусом, если бы не то обстоятельство, что все исследователи золотого деления в растительном и в животном мире, не говоря уже об искусстве, неизменно приходили к этому ряду как арифметическому выражению закона золотого сечения.
Это соотношение действует в формах пространства и времени.
Древние видели в золотом сечении отражение космического порядка, а Иоганн Кеплер называл его одним из сокровищ геометрии. Современная наука рассматривает золотое сечение как «ассиметричную симметрию», называя его в широком смысле универсальным правилом отражающим структуру и порядок нашего мироустройства.
Это соотношение действует в формах пространства и времени.
Древние видели в золотом сечении отражение космического порядка, а Иоганн Кеплер называл его одним из сокровищ геометрии. Современная наука рассматривает золотое сечение как «ассиметричную симметрию», называя его в широком смысле универсальным правилом отражающим структуру и порядок нашего мироустройства.
Например, под это правило попадают соотношение хвоста и тела ящерицы, расстояния между листьями на ветке, есть золотое сечение и в форме яйца, если условную линию провести через его наиболее широкую часть.
Белорусский ученый Эдуард Сороко, который изучал формы золотых делений в природе, отмечал, что все растущее и стремящееся занять свое место в пространстве, наделено пропорциями золотого сечения. По его мнению, одна из самых интересных форм это закручивание по спирали.
Еще Архимед, уделяя внимание спирали, вывел на основе ее формы уравнение, которое и сейчас применяется в технике.
Леонардо да Винчи также много внимания уделял изучению золотого деления. Он производил сечения стереометрического тела, образованного правильными пятиугольниками, и каждый раз получал прямоугольники с отношениями сторон в золотом делении. Поэтому он дал этому делению название «золотое сечение». Так оно и держится до сих пор как самое популярное.
Современными учеными было установлено, что такие проявления спиральных форм в природе как раковина улитки, расположение семян подсолнечника, узоры паутины, движение урагана, строение ДНК и даже структура галактик заключают в себе ряд Фибоначчи.
Также доказано, что изображения, которые согласуются с золотым сечением и числами Фибоначчи особенно благоприятны для человеческого глаза.В основе «принципа золотого сечения» для лица человека лежит равенство трех частей лица – верхней (до бровей), средней (до основания носа) и нижней (до подбородка).
Причем, чем больше в лице человека соотношений в этой пропорции, тем красивее нам он кажется.
Есть лица, при характеристике которых употребляют выражение «правильные черты лица». У этих людей основные пропорции наиболее близки к соотношению 1,618 или 62 : 38.
Задачи Фибоначчи
Леонардо был большим любителем математических турниров, поэтому в своих трактатах много внимания уделял разбору различных математических задач и их решениям.
Задачи на турниры предлагал как сам Фибоначчи, так и его соперник, придворный философ Фридриха II Иоган Палермский. Задачи Фибоначчи, как и их аналоги, продолжали использовать в различных математических учебниках несколько столетий. Их можно встретить в «Сумме арифметики» Пачиоли (1494), в «Приятных и занимательных задачах» Баше де Мизириака (1612), в «Арифметике» Магницкого (1703), в «Алгебре» Эйлера (1768).
Рассмотрим некоторые из них.
Задача о кроликах
Фибоначчи задал такие условия: существует пара новорожденных кроликов (самец и самка), которая регулярно (начиная со второго месяца) производят потомство – всегда одну новую пару кроликов. Тоже, как можно догадаться, самца и самку.
Эти условные кролики помещены в замкнутое пространство и размножаются. Оговаривается также, что ни один кролик не умирает от какой-нибудь загадочной кроличьей болезни.
Надо вычислить, сколько кроликов мы получим через год.
(Ответ: 377 кроликов).Задачи о гирях
Задача о выборе наилучшей системы гирь для взвешивания на рычажных весах впервые была сформулирована именно Фибоначчи.
Леонардо Пизанский предлагает два варианта задачи:
- Простой вариант: требуется найти пять гирь, с помощью которых можно найти все веса меньше 30, при этом гири можно класть только на одну чашу весов (Ответ: 1, 2, 4, 8, 16). Решение строится в двоичной системе счисления.
- Сложный вариант: требуется найти наименьшее число гирь, с помощью которого можно взвесить все веса меньше заданного (Ответ: 1, 3, 9, 27, 81,…).
Решение строится в системе счисления по основанию три.
- Найти число, которое делится на 7 и даёт в остатке единицу при делении на 2, 3, 4, 5 и 6;
- Найти число, произведение которого с семёркой даёт остатки 1, 2, 3, 4, 5 при делении на 2, 3, 4, 5, 6, соответственно;
- Найти квадратное число (то есть число, равное квадрату целого числа), которое при увеличении или уменьшении на 5 давало бы квадратное число.
- Найти число, 19/20 которого равно квадрату самого числа.
(Ответ: 19/20). - Сплав из 30 весовых частей состоит из трёх металлов: первый металл достоинством по три монеты на одну часть, второй металл по две монеты на одну часть, а у третьего металла каждые две части стоят по одной монете; стоимость всего сплава 30 монет. Сколько частей каждого металла содержит сплав?
(Ответ: 3 части первого металла, 5 частей второго металла, 22 части третьего). - «Шуточная задача о семи старухах», которые шли в Рим, и у каждой было по семь мулов, на каждом из которых по семь мешков, в каждом из которых по семь хлебов, в каждом из которых по семь ножей, каждый из которых в семи ножнах. Нужно найти общее число предметов. Эта задача обошла много стран, первое известное упоминание о ней было ещё в Древнем Египте в папирусе Ахмеса.
(Ответ: 137 256).
Источники и что еще можно почитать по теме:
- Образовательный проект TutorOnline, статья Числа Фибоначчи: ищем секрет мироздания
- Сайт "Электронная библиотека «Наука и техника»", статья Золотое сечение
- Энциклопедия людей и идей 2016, статья Обобщающий урок по теме «Золотое сечение»
- «Википе́дия» (англ. Wikipedia)
- Галактический флешмоб - День Фибоначчи (2015 г.)
- Интернет-проект «Задачи», Числа Фибоначчи
Комментариев нет:
Отправить комментарий