Страницы

Фибоначчи и золотое сечение

23.11.2016 готмечается 846 лет со дня рождения Леонардо Пизанского (лат. Leonardus Pisanus, итал. Leonardo Pisano, род. около 1170 года, Пиза - ум. около 1250 года, там же) - первого крупного математика средневековой Европы. Наиболее известен под прозвищем Фибоначчи.

Дата Дня Фибоначчи - 23.11 никак не связана с его биографией. Есть предположение, что это первые числа последовательности, которая носит имя математика.
Т.е. если посмотреть на последовательность цифр даты наоборот: 1 1 2 3 (американский способ записи даты), то видно, что это первые числа последовательности Фибоначчи 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, ...
Биография
Леонардо был сыном торговца. Путешествую вместе с отцом из Италии на Восток, он изучал математику у арабских учителей. Труды математиков Античности и Древней Индии он прочитал в арабских переводах.

Фибоначчи стал первым крупным математиком Средневековья, обобщив полученные знания, свои открытия и размышления в следующих научных трактатах: 
  • «Liber abaci» («Книга абака», 1202 год);
  • «Practica geometriae» («Практика геометрии», 1220 год);
  • «Flos» («Цветок», 1225 год – исследование, посвященное кубическим уравнениям);
  • «Liber quadratorum» («Книга квадратов», 1225 год – задачи о неопределенных квадратных уравнениях).
Имя «Фибоначчи»
Леонардо Пизанский никогда не называл себя Фибоначчи; этот псевдоним был дан ему позднее, предположительно Гийомом Либри в 1838 году. Слово Fibonacci - сокращение от двух слов «filius Bonacci», записанных на обложке «Книги абака» (они могли означать «сын Боначчи»). 

Числа Фибоначчи
Числа Фибоначчи - элементы числовой последовательности, в которой каждое последующее число равно сумме двух предыдущих чисел:
0+1=1
1+1=2
1+2=3
2+3=5 и т.д.
0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, ...

Почему эта последовательность так важна? 

Если разделить два последовательно идущих числа в последовательности друг на друга, то мы получим отношение, которое называется «гармонической пропорцией» или «золотым сечением»:
  • При делении меньшего числа на большее мы получим последовательность чисел, которые будут стремиться к числу 0,618.
  • При делении большего числа на меньшее - последовательность чисел, которая стремятся к 1,618
  • В процентном округлённом значении золотое сечение - это деление какой-либо величины в отношении 62% и 38%.
  • Под «правилом золотого сечения» в архитектуре и искусстве обычно понимаются композиции, содержащие пропорции, близкие к золотому сечению  и .
  • В отрезках это выражается так: a:b= b:c или с:b= b:а.
  • Свойства последовательности:- Каждое третье число Фибоначчи четно; - Каждое четвертое делится на три;- Каждое пятнадцатое оканчивается нулем; - Два соседних числа взаимно просты.
Ряд Фибоначчи мог бы остаться только математическим казусом, если бы не то обстоятельство, что все исследователи золотого деления в растительном и в животном мире, не говоря уже об искусстве, неизменно приходили к этому ряду как арифметическому выражению закона золотого сечения.

Это соотношение действует в формах пространства и времени.
Древние видели в золотом сечении отражение космического порядка, а Иоганн Кеплер называл его одним из сокровищ геометрии. Современная наука рассматривает золотое сечение как «ассиметричную симметрию», называя его в широком смысле универсальным правилом отражающим структуру и порядок нашего мироустройства.

Например, под это правило попадают соотношение хвоста и тела ящерицы, расстояния между листьями на ветке, есть золотое сечение и в форме яйца, если условную линию провести через его наиболее широкую часть.

Белорусский ученый Эдуард Сороко, который изучал формы золотых делений в природе, отмечал, что все растущее и стремящееся занять свое место в пространстве, наделено пропорциями золотого сечения. По его мнению, одна из самых интересных форм это закручивание по спирали.

Еще Архимед, уделяя внимание спирали, вывел на основе ее формы уравнение, которое и сейчас применяется в технике.


Леонардо да Винчи также много внимания уделял изучению золотого деления. Он производил сечения стереометрического тела, образованного правильными пятиугольниками, и каждый раз получал прямоугольники с отношениями сторон в золотом делении. Поэтому он дал этому делению название «золотое сечение». Так оно и держится до сих пор как самое популярное.


Современными учеными было установлено, что такие проявления спиральных форм в природе как раковина улитки, расположение семян подсолнечника, узоры паутины, движение урагана, строение ДНК и даже структура галактик заключают в себе ряд Фибоначчи.



Также доказано, что изображения, которые согласуются с золотым сечением и числами Фибоначчи особенно благоприятны для человеческого глаза.
В основе «принципа золотого сечения» для лица человека лежит равенство трех частей лица – верхней (до бровей), средней (до основания носа) и нижней (до подбородка).
Причем, чем больше в лице человека соотношений в этой пропорции, тем красивее нам он кажется.
Есть лица, при характеристике которых употребляют выражение «правильные черты лица». У этих людей основные пропорции наиболее близки к соотношению 1,618 или 62 : 38.

Задачи Фибоначчи

Леонардо был большим любителем математических турниров, поэтому в своих трактатах много внимания уделял разбору различных математических задач и их решениям.
Задачи на турниры предлагал как сам Фибоначчи, так и его соперник, придворный философ Фридриха II Иоган Палермский. Задачи Фибоначчи, как и их аналоги, продолжали использовать в различных математических учебниках несколько столетий. Их можно встретить в «Сумме арифметики» Пачиоли (1494), в «Приятных и занимательных задачах» Баше де Мизириака (1612), в «Арифметике» Магницкого (1703), в «Алгебре» Эйлера (1768).

Рассмотрим некоторые из них.

Задача о кроликах
Фибоначчи задал такие условия: существует пара новорожденных кроликов (самец и самка), которая регулярно (начиная со второго месяца) производят потомство – всегда одну новую пару кроликов. Тоже, как можно догадаться, самца и самку.
Эти условные кролики помещены в замкнутое пространство и размножаются. Оговаривается также, что ни один кролик не умирает от какой-нибудь загадочной кроличьей болезни.
Надо вычислить, сколько кроликов мы получим через год.
(Ответ: 377 кроликов).

Задачи о гирях
Задача о выборе наилучшей системы гирь для взвешивания на рычажных весах впервые была сформулирована именно Фибоначчи. 
Леонардо Пизанский предлагает два варианта задачи:
  • Простой вариант: требуется найти пять гирь, с помощью которых можно найти все веса меньше 30, при этом гири можно класть только на одну чашу весов (Ответ: 1, 2, 4, 8, 16). Решение строится в двоичной системе счисления.
  • Сложный вариант: требуется найти наименьшее число гирь, с помощью которого можно взвесить все веса меньше заданного (Ответ: 1, 3, 9, 27, 81,…).
    Решение строится в системе счисления по основанию три.
Задачи по теории чисел
  • Найти число, которое делится на 7 и даёт в остатке единицу при делении на 2, 3, 4, 5 и 6;
  • Найти число, произведение которого с семёркой даёт остатки 1, 2, 3, 4, 5 при делении на 2, 3, 4, 5, 6, соответственно;
  • Найти квадратное число (то есть число, равное квадрату целого числа), которое при увеличении или уменьшении на 5 давало бы квадратное число.
Некоторые другие задачи
  • Найти число, 19/20 которого равно квадрату самого числа.
    (Ответ: 19/20).
  • Сплав из 30 весовых частей состоит из трёх металлов: первый металл достоинством по три монеты на одну часть, второй металл по две монеты на одну часть, а у третьего металла каждые две части стоят по одной монете; стоимость всего сплава 30 монет. Сколько частей каждого металла содержит сплав?
    (Ответ: 3 части первого металла, 5 частей второго металла, 22 части третьего).
  • «Шуточная задача о семи старухах», которые шли в Рим, и у каждой было по семь мулов, на каждом из которых по семь мешков, в каждом из которых по семь хлебов, в каждом из которых по семь ножей, каждый из которых в семи ножнах. Нужно найти общее число предметов. Эта задача обошла много стран, первое известное упоминание о ней было ещё в Древнем Египте в папирусе Ахмеса.
    (Ответ: 137 256).
Источники и что еще можно почитать по теме: